擷取類比訊號：頻寬、奈奎斯特取樣定理與失真

已更新 2024年7月18日

綜覽

了解擷取類比訊號，主題包括頻寬、振幅誤差、上升時間、取樣率、奈奎斯特取樣定理、失真，以及解析度。此教學文件屬於「儀器基本原理」系列的一部分。

內容

什麼是數位示波器？
頻寬
取樣率
解析度
摘要
後續步驟

什麼是數位示波器？

科學家與工程師通常會使用數位示波器擷取實際的類比資料，再將資料轉換為利於分析的數位訊號。任何用於將類比訊號轉換為數位訊號的裝置都是數位示波器。最常見的一款示波器就是手機，手機能將聲音類比訊號轉換為數位訊號，再傳送至其他電話。不過，應用於測試及量測時，數位示波器通常是指示波器或多功能數位電錶 (DMM)。本技術文章著重於說明示波器，但大多數的主題也適用於其他數位示波器。

任何類型的數位示波器，都是讓系統能準確重建波形的重要條件。為確實根據用途選擇正確的示波器，請考慮示波器的頻寬、取樣率與解析度。

頻寬

示波器的前端有兩個元件：類比輸入路徑與類比數位轉換器 (ADC)。類比輸入路徑會衰減、放大、過濾和/或耦合訊號，進行訊號最佳化，利於透過 ADC 進行數位化。ADC 會取樣處理過的波形，再將類比輸入訊號轉換為代表類比輸入波形的數值。輸入路徑的頻率響應會造成振幅與相位資訊自然損耗。

頻寬是指類比前端以最小振幅損耗為前提將外界訊號傳送到 ADC 的能力：從探針或測試設備尖端到 ADC 的輸入。換句話說，頻寬代表示波器能準確量測的頻率範圍。

其定義是以正弦曲線輸入訊號衰減至原始振幅之 70.7% 為準，這一點又稱 -3 dB 點。圖 2 與圖 3 示意 100 MHz 示波器最常見的輸入響應。

^{圖 1：頻寬是指輸入訊號能通過示波器前端的頻率範圍，示波器前端有兩個元件：類比輸入路徑與 ADC。}

^{圖 2：輸入訊號衰減至原始振幅的 70.7% 時即為頻寬。}

^{圖 3：這張圖示意輸入訊號在 100 MHz 時達到 -3dB 點。}

頻寬是指訊號振幅降至比通帶頻率低 -3 dB 的低頻率點與高頻率點之間時測得的頻寬。聽起來很複雜，其實仔細分解之後就單純許多了。

首先要計算 -3 dB 值。

^{方程式 1：計算 -3 dB 點。}

V_in,pp 是輸入訊號的峰對峰值電壓，而 V_out,pp 則是輸出訊號的峰對峰值電壓。舉例來說，若套用方程式 1 所示的公式，V_out,pp 約等於 0.7 V。

由於輸入訊號是正弦波，輸出訊號通常會在兩個頻率達到這個電壓；這就是所謂的角頻率 f₁ 與 f₂。這兩個頻率有許多不同的名稱，例如角頻率、截止頻率、交越頻率、半功率頻率、3 dB 頻率，以及中斷頻率。不過，這些術語所指涉的值都一樣。訊號的中心頻率 f₀ 是 f₁ 與 f₂ 的幾何平均值。

^{方程式 2：計算中心頻率。}

減去兩個角頻率就能計算出頻寬 (BW)。

^{方程式 3：計算頻寬}

^{圖 4：頻寬、角頻率、中心頻率和 3 dB 點全部是相連的。}

計算振幅誤差

另一個實用的方程式就是計算振幅誤差。

^{方程式 4：計算振幅誤差。}

振幅誤差以百分比表示，R 是指示波器頻寬與輸入訊號頻率 (f_in) 的比。

以上方範例為例，100 MHz 示波器在 1 V 時的正弦波輸入訊號是 100 MHz，且 BW = 100 MHz、(f_in) = 100 MHz。這表示 R = 1。接下來就是方程式求解：

振幅誤差是 29.3%。此時就可以判斷 1 V 訊號的輸出電壓：

示波器頻寬最好要在測得訊號相關最高頻率成分的 3 到 5 倍之間，盡可能將擷取訊號時的振幅誤差降到最低。舉例來說，若是 100 MHz 的 1 V 正弦波，應使用 300 MHz ~ 500 MHz 頻寬的示波器。100 MHz 訊號在這些頻寬時的振幅誤差是：

計算上升時間

示波器必須要有適當的頻寬才能準確量測訊號，上升時間也要足夠，才能準確擷取快速轉換的細節。量測諸如脈波與步進之類的數位訊號時，這是最可行的方式。輸入訊號的上升時間是訊號從最大訊號振幅的 10% 轉換為 90% 所需的時間。某些示波器可能是以 20% 至 80% 為準，因此請務必參閱使用者手冊。

^{圖 5：輸入訊號的上升時間是訊號從最大訊號振幅的 10% 轉換為 90% 所需的時間。}

上升時間 (Tr) 的計算方式如下：

^{方程式 5：計算上升時間。}

常數 k 取決於示波器。頻寬低於 1 GHz 的示波器，通常 k = 0.35，而頻寬大於 1 GHz 的示波器，k 值通常介於 0.4 到 0.45 之間。

要計算上升時間理想值 T_r-m，可使用公式按示波器 T_r-o 的上升時間與輸入訊號的實際上升時間 T_r-s 計算得出。

^{方程式 6：計算測得的上升時間理論值。}

示波器的上升時間最好介於測得訊號上升時間的 1/3 到 1/5 之間，盡可能將擷取訊號時的上升時間誤差降到最低。

取樣率

取樣率與頻寬規格並無直接關係。取樣率是 ADC 將類比輸入波形轉換為數位資料的頻率。示波器將任何衰減、增益和/或濾波套用至類比輸入路徑之後，就會進行訊號取樣，並將所產生的波形轉換為數位表示。取樣過程是以快照方式進行，就像電影影格一樣。示波器取樣速度越快，波形顯示的解析度與細節就越豐富。

奈奎斯特取樣定理

奈奎斯特取樣定理 (Nyquist Sampling Theorem) 說明取樣率與測得訊號頻率之間的關係。其中指出取樣率 f_s 必須大於測得訊號中相關成分最高頻率的兩倍。這個頻率通常稱為「奈奎斯特頻率」，也就是 f_N。

^{方程式 7：取樣率應大於奈奎斯特頻率的兩倍。}

要了解原因，可以細查在不同速率下量測到的正弦波。在 A 例中，會以相同頻率取樣 f 頻率的正弦波。左邊的原始訊號上標註了這些樣本，若按照右邊的組成，訊號就會顯示成穩定 DC 電壓，這是錯誤的。B 例的取樣率是訊號頻率的兩倍。現在顯示的是三角波形。在此情況下，f 等於奈奎斯特頻率，這就是在可行範圍內能避免特定取樣頻率失真的最高頻率成分。C 例的取樣率是 4f/3。這裡的奈奎斯特頻率是：

由於 f 大於奈奎斯特頻率，因此，這個取樣率會重現頻率和形狀均不正確的失真波形。

因此，要準確重建波形，取樣率 fs 必須大於測得訊號中相關成分最高頻率的兩倍。通常建議取樣率要比訊號頻率大五倍左右。

^{圖 6：取樣率太低可能會導致波形重建失準。}

失真

如果按特定取樣率進行取樣是為了避免失真，那麼，失真的究竟是什麼？訊號取樣率若低於奈奎斯特頻率的兩倍，取樣資料就會出現錯誤的低頻成分。此現象稱為「失真」。下圖示意以取樣率 1 MS/s 取樣的 800 kHz 正弦波。虛線表示以該取樣率記錄到的失真訊號。800 kHz 頻率會在通頻中產生失真，並且顯示 200 kHz 的正弦波，這是不正確的。

^{圖 7：當取樣率過低且重現出不准確的波形時，就會發生失真。}

計算出失真頻率 f_a 後，可用於判斷輸入訊號出現在高於奈奎斯特頻率的頻率時所呈現的樣態。這就是最接近取樣率的整數倍數減去輸入訊號頻率後的絕對值。

^{方程式 8：計算失真頻率。}

以取樣頻率 100 Hz 的訊號為例，輸入訊號包含下列頻率：25 Hz、70 Hz、160 Hz 與 510 Hz。低於 50 Hz 奈奎斯特頻率的頻率，取樣皆正確；超過 50 Hz 的頻率，則顯示為失真。

^{圖 8：系統會量測不同的頻率值，其中有些是交疊頻率，有些則是波形的實際頻率。}

以下是失真頻率的計算結果：

除了提高取樣率之外，也可以使用失真濾波器預防失真。失真濾波器是低通濾波器，能讓輸入訊號中任何高於奈奎斯特頻率的頻率衰減，且必須在 ADC 之前使用才能限制輸入訊號的頻寬，使其符合取樣條件。類比輸入通道可以在硬體中執行類比和數位濾波器，協助預防失真。

解析度

根據用途選擇示波器時，另一個要考慮的因素就是解析度。解析度位元是指示波器能用於呈現訊號的特定垂直準位數。要了解解析度概念，其中一種方式就是與碼尺進行比較。將以公尺為單位的碼尺切割成以公釐為單位；解析度是多少？碼尺上最小的刻度就是解析度，也就是千分之一。

ADC 的解析度取決於能將最大訊號分割成幾份。振幅解析度受限於 ADC 的離散輸出準位數。一個二進位碼代表一份；因此，準位數計算方式如下：

^{方程式 9：計算 ADC 的離散輸出準位。}

舉例來說，3 位元的示波器有 2³ 或 8 個準位。16 位元的示波器則有 2¹⁶ 或 65536 個準位。最小可測電壓變化或編碼寬度的計算方式如下：

^{方程式 9：}^{計算 ADC 的離散輸出準位。}

編碼寬度也稱為最低有效位元 (LSB)。若裝置輸入範圍是 0 ~ 10 V，則 3 位元示波器的編碼寬度就是 10/8 = 1.25 V，而 16 位元示波器的編碼寬度則是 10/65536 = 305 μV。訊號顯示方式會大不相同。

^{圖 9：16 位元與 3 位元解析度之間的波形差異。}

所需的解析度因用途而異；解析度越高，示波器的成本也越高。請記住，示波器解析度高並不代表準確度也高。不過，儀器可達到的準確度受限於解析度。解析度會限制量測的精確度。解析度 (位元數) 越高量測作業就越精確。

某些示波器會使用所謂的抖動 (Dithering) 方法讓訊號保持平順，看起來解析度較高。抖動是指刻意在輸入訊號中加入雜訊。這樣能消除振幅解析度的微小差異，能發揮助益。關鍵在於要加入隨機雜訊，讓訊號能在連續準位之間來回跳動。當然，這樣只會讓訊號出現更多雜訊。但只要擷取到訊號，就會以數位方式均分雜訊，讓訊號保持平順。