采集模拟信号：带宽、奈奎斯特采样定理和混叠

科学家和工程师通常使用数字化仪采集现实世界中的模拟数据，并将其转换为数字信号进行分析。数字化仪是指可以将模拟信号转换为数字信号的任何设备。一种最常见的数字化仪是手机，它可以将语音、模拟信号转换为数字信号，发送至另一部手机。但在测试和测量应用中，数字化仪通常指示波器或数字万用表(DMM)。本文主要介绍示波器，但大多数主题也适用于其他数字化仪。

无论哪种类型，数字化仪对于系统精确重建波形都至关重要。如需确保为应用选择正确的示波器，请考虑示波器的带宽、采样率和分辨率。 

示波器前端由两个部分组成：模拟输入路径和模数转换器(ADC)。模拟输入路径对信号进行衰减、放大、滤波和/或耦合，以优化信号，以备ADC进行数字化处理。ADC对调理后的波形进行采样，并将模拟输入信号转换为可代表模拟输入波形的数字值。输入路径的频率响应会造成幅值和相位信息的固有损耗。

带宽是指模拟前端以最小的幅值损失从外部获取信号并传输至ADC的能力，也就是从探针尖端或测试连接件至ADC的输入端。换言之，带宽用以表示示波器可以精确测量的频率范围。

由正弦输入信号衰减至原始幅值70.7%的频率定义，也称为-3 dB点。图2和图3所示为100 MHz示波器的典型输入响应。

^{图1： 带宽表示输入信号通过示波器前端的频率范围，示波器前端由两个部分组成：模拟输入路径和ADC。}

^{图2：输入信号衰减到原始幅值70.7%时的带宽。}

^{图3：该图表示在100 MHz时，输入信号达到-3 dB点。}

在信号幅值降至低于通带频率-3 dB的低频率点和高频率点之间测量带宽。这听起来很复杂，但分解后便易于理解。 

首先，需要计算-3 dB值。

^{公式1：计算-3 dB点。}

V_in,pp是输入信号的电压峰峰值，V_out,pp是输出信号的电压峰峰值。例如，如使用公式1，V_out,pp约等于0.7 V。

由于输入信号是正弦波，输出信号达到该电压有两个频率，即角频率f₁和f₂。这两个频率有许多不同的名称，如角频率、截止频率、交叉频率、半功率频率、3 dB频率和拐点频率。但是，所有这些术语都表示相同的值。信号的中心频率f₀是f₁和f₂的几何均值。

^{公式2：计算中心频率。}

两个角频率相减即可得到带宽(BW)。 

^{公式3：计算带宽}

^{图4：带宽、角频率、中心频率和3 dB点全部相连。}

计算幅值误差

另一个非常有用的公式是幅值误差。  

^{公式4：计算幅值误差。}

幅值误差用百分比表示，R是示波器带宽与输入信号频率(f_in)之比。

使用上述范例，一台100 MHz示波器，其100 MHz正弦波输入信号电压为1 V，BW = 100 MHz，(f_in) = 100 MHz。即R = 1。然后只需求解等式：

幅值误差为29.3%。然后可确定1 V信号的输出电压：

建议示波器的带宽为测量信号中最高频率分量的三至五倍，以最小幅度误差捕获信号。例如，对于100 MHz的1 V正弦波，则应使用带宽为300 MHz～500 MHz的示波器。100 MHz信号在这些带宽上的幅值误差为：

计算上升时间

除了必须具备适当的带宽以精确测量信号以外，示波器还应具有充足的上升时间以精确捕获快速转换过程中的细节。这适用于测量脉冲和阶跃等数字信号。输入信号的上升时间是信号从最大信号幅值的10%转换为90%所需的时间。而某些示波器可能为20%至80%，因此请务必查看用户手册。

^{图5：输入信号的上升时间是信号从最大信号幅值的10%转换为90%所需的时间。}

上升时间(Tr)的计算方式如下：

^{公式5：计算上升时间。}

常量k取决于示波器。大多数带宽小于1 GHz的示波器k值通常为0.35，而带宽大于1 GHz的示波器的k值通常在0.4和0.45之间。

理论上升时间T_r-m可通过示波器的上升时间T_r-o和输入信号的实际上升时间T_r-s计算得出，计算公式如下。

^{公式6：计算测得的理论上升时间。}

建议示波器的上升时间为测量信号上升时间的三分之一至五分之一，以最小上升时间误差捕获信号。

采样率与带宽规范并无直接关系。采样率是指ADC将模拟输入波形转换为数字数据的频率。对模拟输入路径进行衰减、增益和/或滤波后，示波器对信号进行采样，并将结果波形转换为数字表示。整个过程类似于电影的帧，以快照方式进行。示波器采样的速度越快，波形的分辨率越高，细节就越清楚。 

奈奎斯特采样定理

奈奎斯特采样定理解释了采样率和测量信号频率之间的关系。此定理规定采样率f_s必须高于测量信号中最高频率分量的两倍。该频率通常被称为奈奎斯特频率(ƒ_N)。 

^{公式7：采样率应高于奈奎斯特频率的两倍。}

如需了解原因，请查看以不同速率测量的正弦波。在示例A中，以相同频率对频率f的正弦波进行采样。这些采样标记在左侧的原始信号上，而在右侧构建时，信号则会错误显示为恒定直流电压。在示例B中，采样率是信号频率的两倍。现在显示为三角波形。在这种情况下，f等于奈奎斯特频率，也就是在给定采样频率下用于避免混叠的最高频率分量。在示例C中，采样率为4f/3。在此情况下，奈奎斯特频率为：

由于f大于奈奎斯特频率，该采样率可产生频率和形状均不正确的混叠波形。

因此，为了精确重构波形，采样率fs必须高于测量信号中最高频率分量的两倍。通常在信号频率的5倍左右进行采样。

^{图6：过低的采样率会导致波形重建不准确。}

混叠

如需以特定速率采样以避免混叠，那么究竟什么是混叠？如信号的采样率小于奈奎斯特频率的两倍，采样数据中将出现错误的低频率分量。这种现象称为混叠。下图显示了以1 MS/s采样的800 kHz正弦波。虚线表示以该采样率记录的混叠信号。800 kHz的频率混叠在通带中，错误显示为200 kHz的正弦波。

^{图7：采样率过低时会发生混叠，并产生不准确的波形。}

通过计算混叠频率f_a，可确定频率超过奈奎斯特频率的输入信号是如何出现的。将采样频率的最接近整数倍减去输入信号频率，然后将差值取绝对值。 

^{公式8：计算混叠频率。}

例如，假设信号的采样频率为100 Hz，且输入信号包含以下频率：25 Hz、70 Hz、160 Hz和510 Hz。低于奈奎斯特频率(50 Hz)的频率可正确采样；超过50 Hz的频率出现混叠。 

^{图8：测得的不同频率值，包括混叠频率，以及波形的实际频率。}

以下是混叠频率的计算方式： 

除了提高采样率之外，使用抗混叠滤波器也可以防止混叠。低通滤波器可衰减输入信号中高于奈奎斯特频率的频率，因此必须在ADC之前使用，用以限制输入信号的带宽，从而满足采样标准。模拟输入通道可通过硬件实现模拟和数字滤波器，以帮助防止混叠。

为应用选择示波器时需要考虑的另一个因素是分辨率。分辨率位数是指示波器用于表示信号的唯一垂直电平数量。要理解分辨率概念，方法之一是将其与标尺进行比较。将米标尺分为毫米；分辨率是多少？标尺上的最小刻度就是分辨率，即1/1,000单位。

ADC分辨率代表信号所能划分的最大数量。幅值分辨率受ADC离散输出电平数量的限制。二进制代码表示每个分区；因此，电平数的计算方式如下：

^{公式9：计算ADC的离散输出电平。}

例如，3位示波器有2³或8个电平。另一方面，16位示波器有2¹⁶或65536个电平。可检测的最小电压变化或代码宽度的计算方式如下：

^{公式9： 计算ADC的离散输出电平。}

代码宽度也称为最低有效位(LSB)。如设备输入范围为0至10 V，3位示波器的代码宽度为10/8 = 1.25 V，16位示波器的代码宽度为10/65,536 = 305 μV。这意味着信号的显示方式有很大不同。

^{图9：16位和3位分辨率之间的波形差。}

所需的分辨率取决于应用；分辨率越高，示波器的成本越高。请记住，高分辨率示波器并不一定表示可提供高精度。但是，仪器可达到的精度却会受分辨率的限制。分辨率会限制测量精确度；分辨率（位数）越高，测量的精确度越高。

某些示波器使用抖动方法来平滑信号，以获得更高的分辨率。抖动是指有意向输入信号添加噪声。这样做有助于消除幅值分辨率的微小差别。关键是添加随机噪声，让信号在连续电平之间来回弹跳。当然，这本身只是让信号更加嘈杂。但是，一旦采集到信号，通过对该噪声进行数字平均，即可平滑信号。

^{图10：抖动有助于平滑信号。}

• 带宽表示示波器可精确测量的频率范围。由正弦输入信号衰减至原始幅值70.7%的频率定义，也称为-3 dB点。
• 带宽是角频率之差。
• 幅值误差是带宽与输入信号频率的百分比，用于确定系统中的噪声。
• 建议示波器的带宽为测量信号中最高频率分量的三至五倍，以最小幅度误差捕获信号。
• 输入信号的上升时间是信号从最大信号幅值的10%转换为90%所需的时间。
• 建议示波器的上升时间为测量信号上升时间的三分之一至五分之一，以最小上升时间误差捕获信号。
• 采样率是指ADC将模拟输入波形转换为数字数据的频率。
• 采样率至少应为信号最高频率的两倍，但大多数情况下应为五倍左右。
• 混叠是指采样数据中出现错误的频率分量。
• 分辨率位数是指示波器用于表示信号的唯一垂直电平数量。
• 仪器的分辨率越高，精确度就越高。

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