아날로그 신호 수집하기: 대역폭, 나이퀴스트 샘플링 정리 및 앨리어싱

과학자와 엔지니어는 종종 디지타이저를 사용하여 실제로 아날로그 데이터를 수집하고 분석을 위해 디지털 신호로 변환합니다. 디지타이저는 아날로그 신호를 디지털 신호로 변환하는 데 사용되는 모든 디바이스입니다. 가장 일반적인 디지타이저 중 하나는 아날로그 신호인 음성을 다른 전화로 전송하기 위해 디지털 신호로 변환하는 휴대 전화입니다. 그러나 테스트 및 측정 분야에서 디지타이저는 대부분 오실로스코프 또는 디지털 멀티미터 (DMM)를 의미합니다. 이 문서에서는 오실로스코프를 중점적으로 다루지만 대부분의 토픽은 다른 디지타이저에도 적용 가능합니다.

타입에 관계없이 디지타이저는 시스템에서 정확하게 웨이브폼을 재구성하는 데 매우 중요합니다. 해당 분야에 맞는 오실로스코프를 선택하려면 오실로스코프의 대역폭, 샘플링 속도, 분해능을 고려하십시오. 

오실로스코프의 프런트 엔드는 아날로그 입력 경로와 아날로그-디지털 변환기 (ADC)라는 두 가지 구성요소로 구성됩니다. 아날로그 입력 경로는 신호를 감쇠, 증폭, 필터링 및/또는 커플링하여 ADC가 디지털화를 준비할 때 신호를 최적화합니다. ADC는 조건부 웨이브폼을 샘플링하고 아날로그 입력 신호를 아날로그 입력 웨이브폼을 나타내는 디지털 값으로 변환합니다. 입력 경로의 주파수 응답 때문에 진폭과 위상 정보가 손실됩니다.

대역폭은 아날로그 프런트 엔드가 프로브 또는 테스트 장치의 끝에서 ADC의 입력까지 진폭 손실을 최소화하면서 외부에서 ADC로 신호를 가져오는 기능을 나타냅니다. 즉, 대역폭은 오실로스코프가 정확하게 측정할 수 있는 주파수 범위를 나타냅니다.

이는 사인파 입력 신호가 원래 진폭의 70.7퍼센트로 감쇠되는 주파수로 정의되며, -3 dB 포인트라고도 합니다. 그림 2와 그림 3은 100 MHz 오실로스코프의 일반적인 입력 응답을 보여줍니다.

^{그림 1: 대역폭은 입력 신호가 아날로그 입력 경로와 ADC라는 두 부분으로 구성된 오실로스코프 프런트 엔드를 통과할 수 있는 주파수 범위를 나타냅니다.}

^{그림 2: 입력 신호가 원래 진폭의 70.7퍼센트로 감쇠되는 경우 대역폭}

^{그림 3: 이 그래프는 100 MHz에서 입력 신호가 -3 dB 포인트에 도달함을 보여줍니다.}

대역폭은 신호 진폭이 통과 대역 주파수보다 -3 dB 낮아지는 하위 주파수 포인트와 상위 주파수 포인트 사이에서 측정됩니다. 복잡해 보이지만 자세히 뜯어보면 실제로는 비교적 쉽습니다. 

먼저 -3 dB 값을 계산합니다.

^{식 1: -3 dB 포인트 계산}

V_in,pp는 입력 신호의 피크 대 피크 전압이며 V_out,pp는 출력 신호의 피크 대 피크 전압입니다. 예를 들어, 식 1에 표시된 수식을 적용하는 경우 V_out,pp는 대략 0.7 V입니다.

입력 신호는 사인파이기 때문에 출력 신호가 이 전압에 도달하는 주파수가 두 개 있는데, 이러한 주파수를 코너 주파수 f₁과 f₂라고 합니다. 이러한 두 주파수는 코너 주파수, 차단 주파수, 크로스오버 주파수, 반전력 주파수, 3 dB 주파수, 절점 주파수와 같은 여러 이름으로 불립니다. 그러나 이 모든 용어는 같은 값을 나타냅니다. 신호의 중심 주파수 f₀은 f₁과 f₂의 기하 평균입니다.

^{식 2: 중심 주파수 계산}

코너 주파수 두 개를 빼서 대역폭 (BW)을 계산할 수 있습니다. 

^{식 3: 대역폭 계산} 

^{그림 4: 대역폭, 코너 주파수, 중심 주파수와 3 dB 포인트는 모두 연결되어 있습니다.}

진폭 오차 계산

진폭 오차에 유용한 또 다른 식이 있습니다.  

^{식 4: 진폭 오차 계산}

진폭 오차는 퍼센트로 표현되며 R은 오실로스코프의 대역폭과 입력 신호 주파수 (f_in)의 비율입니다.

위의 예를 사용하면, 1 V에서 사인파 입력 신호 100 MHz, BW = 100 MHz 및 (f_in) = 100 MHz인 100 MHz 오실로스코프가 있습니다. 즉, R = 1입니다. 이제 다음 식을 풀면 됩니다.

진폭 오차는 29.3%입니다. 이제 다음과 같이 1 V 신호의 출력 전압을 결정할 수 있습니다.

가장 작은 진폭 오차로 신호를 캡처하려면 오실로스코프 대역폭이 측정된 신호에서 가장 높은 관심 주파수 성분의 3~5배가 되는 것이 좋습니다. 예를 들어, 100 MHz에서 1 V 사인파의 경우 대역폭이 300 MHz~500 MHz인 오실로스코프를 사용해야 합니다. 이러한 대역폭에서 100 MHz 신호의 진폭 오차는 다음과 같습니다:

상승 시간 계산

오실로스코프는 신호를 정확하게 측정하기에 적절한 대역폭을 가져야 하지만, 빠른 변이의 세부 정보를 정확하게 캡처하기 위해서는 상승 시간 역시 충분해야 합니다. 이는 펄스 및 스텝과 같은 디지털 신호를 측정할 때 가장 적합합니다. 입력 신호의 상승 시간은 신호가 최대 신호 진폭의 10%에서 90%로 변환하는 시간입니다. 일부 오실로스코프의 경우 20%~80%가 사용됩니다. 따라서 사용자 매뉴얼을 확인하십시오.

^{그림 5: 입력 신호의 상승 시간은 신호가 최대 신호 진폭의 10%에서 90%로 변환하는 시간입니다.}

상승 시간 (Tr)은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

^{식 5: 상승 시간 계산}

상수 k는 오실로스코프에 따라 다릅니다. 대역폭이 1 GHz 미만인 대부분의 오실로스코프는 일반적으로 k = 0.35이며, 대역폭이 1 GHz보다 큰 오실로스코프는 일반적으로 k 값이 0.4~0.45입니다.

이론적 상승 시간 T_r-m은 오실로스코프의 상승 시간 T_r-o와 입력 신호의 실제 상승 시간 T_r-s를 사용하여 다음 수식으로 계산할 수 있습니다.

^{식 6: 측정된 이론적 상승 시간 계산}

상승 시간 오차를 최소화하며 신호를 수집하려면 오실로스코프의 상승 시간이 측정된 신호 상승 시간의 1/3~1/5인 것이 좋습니다.

샘플링 속도라고도 하는 샘플 속도는 대역폭 스펙과 직접 관련이 없습니다. 샘플 속도는 ADC가 아날로그 입력 웨이브폼을 디지털 데이터로 변환하는 주파수입니다. 오실로스코프는 감쇠, 이득 및/또는 필터링이 아날로그 입력 경로에 적용된 후 신호를 샘플링하고 결과로 나타나는 웨이브폼을 디지털 표현으로 변환합니다. 이는 영화의 프레임처럼 스냅샷에서 작동합니다. 오실로스코프 샘플링 속도가 빠를수록, 웨이브폼에서 관찰할 수 있는 분해능이 높아지고 세부 정보가 많아집니다. 

나이퀴스트 샘플링 정리

나이퀴스트 샘플링 정리는 샘플 속도와 측정된 신호의 주파수 사이의 관계를 설명합니다. 샘플 속도 f_s는 측정된 신호에서 가장 높은 관심 주파수 성분의 두 배 이상이어야 한다고 지정합니다. 이 주파수를 종종 나이퀴스트 주파수 (ƒ_N)라고 합니다. 

^{식 7: 샘플 속도는 나이퀴스트 주파수의 두 배 이상이어야 합니다.}

왜 그런지 이해하기 위해 서로 다른 속도로 측정된 사인파를 살펴보겠습니다. A의 경우, 주파수 f의 사인파는 같은 주파수에서 샘플링됩니다. 이러한 샘플은 원래 신호는 왼쪽에 표시된 것과 같지만 오른쪽에 구성된 것처럼 신호가 일정한 DC 전압으로 잘못 나타납니다. B의 경우, 샘플 속도는 신호의 주파수의 두 배입니다. 따라서 삼각 웨이브폼으로 나타납니다. 이 경우, f는 주어진 샘플링 주파수에서 앨리어싱을 피하기 위해 허용되는 가장 높은 주파수 성분인 나이퀴스트 주파수와 같습니다. C의 경우, 샘플링 속도는 4f/3입니다. 이 경우 나이퀴스트 주파수는 다음과 같습니다.

f는 나이퀴스트 주파수보다 크기 때문에, 이 샘플 속도는 주파수와 모양이 부정확한 앨리어스 웨이브폼을 재현합니다.

그러므로 웨이브폼을 정확하게 재구성하려면 샘플 속도 fs가 측정된 신호에서 가장 높은 관심 주파수 성분의 두 배보다 커야 합니다. 일반적으로 신호 주파수의 5배 정도를 샘플링하려고 합니다.

^{그림 6: 샘플링 속도가 너무 낮으면 웨이브폼이 부정확하게 재구성될 수 있습니다.}

앨리어싱

앨리어싱을 피하기 위해 특정 속도로 샘플링해야 하는 경우 앨리어싱이란 정확히 무엇입니까? 신호가 나이퀴스트 주파수의 두 배보다 작은 샘플링 속도로 샘플링되는 경우 샘플링된 데이터에 낮은 거짓 주파수 성분이 나타납니다. 이와 같은 현상을 앨리어싱이라고 합니다. 다음 그림은 1 MS/s에서 샘플링된 800 kHz 사인파를 보여줍니다. 점선은 해당 샘플 속도로 기록된 앨리어싱된 신호를 나타냅니다. 800 kHz 주파수는 다시 통과 대역에 앨리어싱되어 200 kHz 사인파로 잘못 나타납니다.

^{그림 7: 샘플 속도가 너무 낮고 부정확한 웨이브폼 표현을 재현할 때 앨리어싱이 발생합니다.}

앨리어스 주파수 f_a를 계산하여 나이퀴스트 주파수보다 높은 주파수에서 입력 신호가 어떻게 나타나는지 확인할 수 있습니다. 이는 샘플 주파수의 가장 가까운 정수 배수에서 입력 신호의 주파수를 뺀 값의 절댓값입니다. 

^{식 8: 앨리어스 주파수 계산}

예를 들어, 샘플 주파수가 100 Hz인 신호가 있고 입력 신호에는 주파수 25 Hz, 70 Hz, 160 Hz 및 510 Hz가 포함된다고 합시다. 이 경우 나이퀴스트 주파수 50 Hz보다 작은 주파수는 정확하게 샘플링되지만, 50 Hz를 넘으면 앨리어스로 나타납니다. 

^{그림 8: 다른 주파수 값을 측정합니다. 일부는 앨리어스 주파수이고 일부는 웨이브폼의 실제 주파수입니다.}

다음은 앨리어스 주파수의 계산식입니다. 

앨리어싱은 샘플 속도를 높이는 것 외에도 앨리어싱 제거 필터를 사용하여 방지할 수 있습니다. 이 필터는 나이퀴스트 주파수보다 큰 입력 신호의 주파수를 감쇠하는 저역 통과 필터이며, 샘플링 기준을 충족하려면 ADC 앞에 이 필터를 사용해 입력 신호의 대역폭을 제한해야 합니다. 아날로그 입력 채널은 앨리어싱 방지를 지원하기 위해 하드웨어에 아날로그 및 디지털 필터를 둘 다 구현할 수 있습니다.

사용 분야에서 오실로스코프를 선택할 때 고려해야 할 또 다른 요소는 분해능입니다. 분해능의 비트는 오실로스코프가 신호를 나타낼 때 사용할 수 있는 고유한 수직 레벨 수입니다. 분해능의 개념을 이해하는 한 가지 방법은 눈금자와 비교하는 것입니다. 미터 눈금자를 밀리미터 단위로 나누면 분해능은 어떻게 될까요? 눈금자에서 가장 작은 눈금이 분해능입니다. 즉, 분해능은 1,000분의 1입니다.

ADC의 분해능은 최대 신호를 몇 개 부분으로 나눌 수 있는지 확인하는 기능입니다. 진폭 분해능은 ADC가 가진 이산 출력 레벨 수로 제한됩니다. 2진 코드는 각 분할을 나타냅니다. 따라서 다음과 같이 레벨 수를 계산할 수 있습니다.

^{식 9: ADC의 이산 출력 레벨 계산}

예를 들어, 3비트 오실로스코프에는 레벨이 23개 또는 8개 있습니다. 반면에 16비트 오실로스코프에는 레벨이 216개 또는 65,536개 있습니다. 감지 가능한 최소 전압 변화 또는 코드 폭은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

^{식 9: ADC의 이산 출력 레벨 계산}

또한 코드 폭은 최하위 비트 (LSB)라고도 합니다. 디바이스 입력 범위가 0~10 V인 경우, 3비트 오실로스코프의 코드 폭은 10/8 = 1.25 V이고 16비트 오실로스코프의 코드 폭은 10/65,536 = 305 μV입니다. 이는 신호가 표시되는 방식에 큰 차이를 의미할 수 있습니다.

^{그림 9: 분해능 16비트~3비트 사이에서 웨이브폼의 차이}

필요한 분해능은 사용 분야에 따라 다릅니다. 분해능이 높을수록 오실로스코프 비용은 올라갑니다. 하지만 분해능이 높다고 해서 오실로스코프가 반드시 정확도가 높은 것은 아닙니다. 그러나 인스트루먼트가 달성할 수 있는 정확도는 분해능으로 제한됩니다. 분해능은 측정의 정밀도를 제한합니다. 분해능 (비트 수)이 높을수록 측정 정밀도가 높아집니다.

일부 오실로스코프는 디더링이라는 방법을 사용하여 신호를 평활화하여 더 높은 분해능의 모양을 얻습니다. 디더링은 입력 신호에 의도적으로 노이즈를 추가하는 것을 의미합니다. 이 방법은 진폭 분해능의 작은 차이를 없애 유용합니다. 이 방법의 핵심은 연속 레벨 사이에서 신호 바운스를 앞뒤로 만드는 방식으로 랜덤 노이즈를 추가하는 것입니다. 물론, 이로 인해 신호의 노이즈가 더 커집니다. 하지만 신호가 수집되면 이 노이즈를 디지털 방식으로 평균을 산출해 신호를 평활화할 수 있습니다.

^{그림 10: 디더링은 신호를 평활화하는 데 유용합니다.}

• 대역폭은 오실로스코프가 정확하게 측정할 수 있는 주파수 범위를 나타냅니다. 이는 사인파 입력 신호가 원래 진폭의 70.7퍼센트로 감쇠되는 주파수로 정의되며, -3 dB 포인트라고도 합니다.
• 대역폭은 코너 주파수 사이의 차이입니다.
• 진폭 오차는 시스템에서 노이즈를 결정하는 데 도움이 되는 입력 신호 주파수에 대한 대역폭의 비율입니다.
• 가장 작은 진폭 오차로 신호를 캡처하려면 오실로스코프의 대역폭은 측정된 신호에서 가장 높은 관심 주파수 성분의 3~5배인 것이 좋습니다.
• 입력 신호의 상승 시간은 신호가 최대 신호 진폭의 10%에서 90%로 전환하는 시간입니다.
• 가장 작은 상승 시간 오차로 신호를 캡처하려면 오실로스코프의 상승 시간이 측정된 신호 상승 시간의 1/3~1/5인 것이 좋습니다.
• 샘플 속도는 ADC가 아날로그 입력 웨이브폼을 디지털 데이터로 변환하는 빈도입니다.
• 샘플 속도는 신호에서 가장 높은 관심 주파수의 최소 두 배여야 하지만 대부분의 시간은 약 5배 이상이어야 합니다.
• 앨리어싱은 샘플링된 데이터에 거짓 주파수 성분이 나타날 때 발생합니다.
• 분해능 비트는 오실로스코프가 신호를 나타내는 데 사용할 수 있는 고유한 수직 레벨의 수를 의미합니다.
• 인스트루먼트의 분해능이 높을수록 정밀도가 높아집니다.

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