Comprender las FFT y las ventanas

La transformada de Fourier puede ser poderosa para comprender las señales diarias y solucionar errores en las señales. Aunque la transformada de Fourier es una función matemática complicada, no es un concepto complicado de comprender y relacionar con sus señales medidas. Esencialmente, toma una señal y la descompone en ondas sinusoidales de diferentes amplitudes y frecuencias. Echemos un vistazo más profundo a lo que esto significa y por qué es útil. 

Todas las señales son la suma de senos

Al observar las señales del mundo real, generalmente las ve como un voltaje que cambia con el tiempo. Esto se conoce como el dominio del tiempo. El teorema de Fourier establece que cualquier forma de onda en el dominio del tiempo puede representarse con la suma de senos y cosenos. Por ejemplo, tome dos ondas sinusoidales, donde una es tres veces más rápida que la otra, o la frecuencia es 1/3 de la primera señal. Cuando los agrega, puede ver que obtiene una señal diferente.

^{Figura 1: Cuando agrega dos señales, obtiene una nueva señal.} 

Ahora imagina si esa segunda onda también fuera 1/3 de la amplitud. Esta vez, solo los picos se ven afectados.

^{Figura 2: Ajustar la amplitud al agregar señales afecta a los picos.}

Imagine que agregó una tercera señal que era 1/5 de la amplitud y frecuencia de la señal original. Si continúa de esta manera hasta que alcanza el ruido de planta, es posible que reconozca la forma de onda resultante.

^{Figura 3: Una onda cuadrada es la suma de senos.}

Ahora ha creado una onda cuadrada. De esta manera, todas las señales en el dominio del tiempo se pueden representar con una serie de senos.

Aunque es bastante bueno que pueda construir señales de esta manera, ¿por qué realmente le importa? Porque si puede construir una señal usando senos, también puede deconstruir señales en senos. Una vez que se deconstruye una señal, usted puede ver y analizar las diferentes frecuencias que están presentes en la señal original. Eche un vistazo a algunos ejemplos en los que poder deconstruir una señal ha resultado útil:

• Si deconstruye ondas de radio, puede elegir qué frecuencia o estación en particular desea escuchar.
• Si usted deconstruye las ondas de audio en diferentes frecuencias, como graves y agudas, puede alterar los tonos o frecuencias para realzar ciertos sonidos y eliminar el ruido no deseado.
• Si usted deconstruye vibraciones de terremotos de diferentes velocidades y fortalezas, puede optimizar los diseños de edificios para evitar las vibraciones más fuertes.
• Si deconstruye los datos de la PC, puede ignorar las frecuencias menos importantes y generar representaciones más compactas en la memoria, también conocidas como compresión de archivos.

Deconstruir señales usando la FFT

La transformada de Fourier deconstruye una representación en el dominio del tiempo de una señal en la representación en el dominio de frecuencia. El dominio de frecuencia muestra los voltajes presentes en diferentes frecuencias. Es una forma diferente de ver la misma señal. 

Un digitalizador muestrea una forma de onda y la transforma en valores discretos. Debido a esta transformación, la transformada de Fourier no funcionará con estos datos. En su lugar, se utiliza la transformada de Fourier discreta (DFT), que produce como resultado los componentes del dominio de frecuencia en valores discretos o bins. La transformada rápida de Fourier (FFT) es una implementación optimizada de un DFT que requiere menos cálculo para realizar, pero esencialmente solo deconstruye una señal.

Eche un vistazo a la señal de la Figura 1 anterior. Hay dos señales en dos frecuencias diferentes; en este caso, la señal tiene dos picos en el dominio de frecuencia, uno en cada una de las dos frecuencias de los senos que componían la señal en primer lugar.

^{Figura 4: Cuando se agregan dos ondas sinusoidales de igual amplitud, dan como resultado dos picos en el dominio de frecuencia.}

La amplitud de la señal original se representa en el eje vertical. Si observa la señal de la Figura 2 anterior, donde hay dos señales diferentes en diferentes amplitudes, puede ver que el pico más prominente corresponde a la frecuencia de la señal sinusoidal de voltaje más alto. Al observar una señal en el dominio del tiempo, puede tener una buena idea de la señal original al conocer a qué frecuencias ocurren las señales de voltaje más grandes.

^{Figura 5: El pico más alto es la frecuencia de mayor amplitud.}

También puede ser útil observar la forma de la señal en el dominio de frecuencia. Por ejemplo, echemos un vistazo a la onda cuadrada en el dominio de frecuencia. Creamos la onda cuadrada usando muchas ondas sinusoidales a diferentes frecuencias; como tal, usted esperaría muchos picos en la señal en el dominio de frecuencia, uno por cada señal agregada. Si ve una buena rampa en el dominio de frecuencia, sabrá que la señal original era una onda cuadrada.

^{Figura 6: El dominio de frecuencia de una onda sinusoidal parece una rampa.}

Entonces, ¿cómo se ve esto en el mundo real? Muchos osciloscopios de señal mixta (MSO) tienen una función FFT. A continuación, puede ver cómo se ve una FFT de una onda cuadrada en una gráfica de señal mixta. Si se acerca, puede ver los picos individuales en el dominio de frecuencia.

^{Figura 7: La onda sinusoidal original y su FFT correspondiente se muestran en A y B es una parte ampliada de la FFT donde puede ver los picos individuales.}

Observar las señales en el dominio de frecuencia puede ayudar a validar y solucionar problemas de señales. Por ejemplo, digamos que tiene un circuito que se supone que genera una onda sinusoidal. Puede ver la señal de salida en el osciloscopio en el dominio del tiempo en la Figura 8 a continuación. ¡Se ve bastante bien!

^{Figura 8: Si se agregan estas dos ondas, se verían como una onda sinusoidal perfecta porque son muy similares.}

Sin embargo, cuando ve la señal en el dominio de frecuencia, espera solo un pico porque espera generar una sola onda sinusoidal en una sola frecuencia. Sin embargo, puede ver que hay un pico más pequeño a una frecuencia más alta; esto le está diciendo que la onda sinusoidal no es tan buena como pensaba. Puede trabajar con el circuito para eliminar la causa del ruido agregado a esa frecuencia en particular. El dominio de frecuencia es excelente para mostrar si una señal limpia en el dominio del tiempo realmente contiene interferencia, ruido o fluctuación.

^{Figura 9: Al observar la onda sinusoidal aparentemente perfecta de la Figura 8, puede ver que en realidad hay una falla.}

Aunque realizar una FFT en una señal puede proporcionar una gran comprensión, es importante conocer las limitaciones de la FFT y cómo mejorar la claridad de la señal con el uso de ventanas.

¿Qué son las ventanas?

Cuando usted usa la FFT para medir el componente de frecuencia de una señal, está basando el análisis en un conjunto finito de datos. La transformada FFT real asume que es un conjunto de datos finito, un espectro continuo que es un período de una señal periódica. Para la FFT, tanto el dominio del tiempo como el dominio de frecuencia son topologías circulares, por lo que los dos puntos finales de la forma de onda del tiempo se interpretan como si estuvieran conectados entre sí. Cuando la señal medida es periódica y un número entero de períodos llena el intervalo de tiempo de adquisición, la FFT resulta correcta ya que coincide con esta suposición.

^{Figura 10: Medir un número entero de períodos (A) da una FFT ideal (B).}

Sin embargo, muchas veces, la señal medida no es un número entero de períodos. Por lo tanto, la finitud de la señal medida puede resultar en una forma de onda truncada con diferentes características de la señal de tiempo continuo original, y la finitud puede introducir cambios bruscos de transición en la señal medida. Las transiciones bruscas son discontinuidades.

Cuando el número de períodos en la adquisición no es un número entero, los puntos finales son discontinuos. Estas discontinuidades artificiales aparecen en la FFT como componentes de alta frecuencia que no están presentes en la señal original. Estas frecuencias pueden ser mucho más altas que la frecuencia de Nyquist y tienen un alias entre 0 y la mitad de su frecuencia de muestreo. El espectro que se obtiene al usar una FFT, por lo tanto, no es el espectro real de la señal original, sino una versión manchada. Parece como si la energía en una frecuencia se filtrara a otras frecuencias. Este fenómeno se conoce como fuga espectral, que hace que las líneas espectrales finas se extiendan en señales más amplias.

^{Figura 11: La medida de un número no entero de períodos (A) agrega una fuga espectral a la FFT (B).} 

Puede minimizar los efectos de realizar una FFT en un número no entero de ciclos utilizando una técnica llamada ventanas. Las ventanas reduce la amplitud de las discontinuidades en los límites de cada secuencia finita adquirida por el digitalizador. Las ventanas consisten en multiplicar el registro de tiempo por una ventana de longitud finita con una amplitud que varía suave y gradualmente hacia cero en los bordes. Esto hace que los puntos finales de la forma de onda se encuentren y, por lo tanto, da como resultado una forma de onda continua sin transiciones bruscas. Esta técnica también se conoce como aplicar una ventana.

^{Figura 12: La aplicación de una ventana minimiza el efecto de la fuga espectral.}

Funciones de ventanas

Hay varios tipos diferentes de funciones de ventana que puede aplicar dependiendo de la señal. Para comprender cómo una ventana determinada afecta el espectro de frecuencias, debe comprender más sobre las características de frecuencia de las ventanas. 

Una gráfica real de una ventana muestra que la característica de frecuencia de una ventana es un espectro continuo con un lóbulo principal y varios lóbulos laterales. El lóbulo principal está centrado en cada componente de frecuencia de la señal en el dominio del tiempo y los lóbulos laterales se acercan a cero. La altura de los lóbulos laterales indica el efecto que tiene la función de ventanas en las frecuencias alrededor de los lóbulos principales. La respuesta del lóbulo lateral de una señal sinusoidal fuerte puede dominar la respuesta del lóbulo principal de una señal sinusoidal débil cercana. Normalmente, los lóbulos laterales inferiores reducen las fugas en la FFT medida pero aumentan el ancho de banda del lóbulo principal. La velocidad de caída del lóbulo lateral es la velocidad de caída asintótica de los picos de los lóbulos laterales. Al aumentar la velocidad de caída del lóbulo lateral, puede reducir la fuga espectral.

Seleccionar una función de ventana no es una tarea sencilla. Cada función de ventana tiene sus propias características e idoneidad para diferentes aplicaciones. Para elegir una función de ventana, debe estimar el contenido de frecuencia de la señal.

• Si la señal contiene componentes de frecuencia de interferencia fuertes distantes a la frecuencia de interés, elija una ventana de suavizado con una tasa alta de caída de lóbulos laterales.
• Si la señal contiene fuertes señales de interferencia cerca de la frecuencia de interés, elija una función de ventana con un nivel de lóbulo lateral máximo bajo.
• Si la frecuencia de interés contiene dos o más señales muy cercanas entre sí, la resolución espectral es importante. En este caso, es mejor elegir una ventana de suavizado con un lóbulo principal muy angosto.
• Si la precisión de la amplitud de un solo componente de frecuencia es más importante que la ubicación exacta del componente en un intervalo de frecuencia determinado, elija una ventana con un lóbulo principal ancho.
• Si el espectro de la señal es bastante plano o de banda ancha en el contenido de frecuencia, utilice la ventana uniforme o sin ventana.
• En general, la ventana de Hanning (Hann) es satisfactoria en el 95% de los casos. Tiene una buena resolución de frecuencia y una fuga espectral reducida. Si no conoce la naturaleza de la señal pero desea aplicar una ventana de suavizado, comience con la ventana de Hann.

Incluso si no usa ventanas, la señal se convoluciona con una ventana de forma rectangular de altura uniforme, por la naturaleza de tomar una imagen instantánea en el tiempo de la señal de entrada y trabajar con una señal discreta. Esta convolución tiene un espectro característico de la función sinusoidal. Por esta razón, a ninguna ventana se le llama ventana uniforme o rectangular porque todavía hay un efecto de ventanas.

Las funciones de ventana de Hamming y Hann tienen forma sinusoidal. Ambas ventanas dan como resultado un pico ancho pero lóbulos laterales bajos. Sin embargo, la ventana de Hann toca cero en ambos extremos eliminando toda discontinuidad. La ventana de Hamming no llega a cero y, por lo tanto, todavía tiene una ligera discontinuidad en la señal. Debido a esta diferencia, la ventana de Hamming hace un mejor trabajo al cancelar el lóbulo lateral más cercano, pero un trabajo más pobre al cancelar cualquier otro. Estas funciones de ventana son útiles para medidas de ruido donde se desea una mejor resolución de frecuencia que algunas de las otras ventanas, pero los lóbulos laterales moderados no presentan un problema.

^{Figura 13: Las ventanas de Hamming y Hann dan como resultado un pico ancho pero buenos lóbulos laterales bajos.} 

La ventana Blackman-Harris es similar a las ventanas Hamming y Hann. El espectro resultante tiene un pico amplio, pero una buena compresión de los lóbulos laterales. Hay dos tipos principales de esta ventana. El Blackman-Harris de 4 términos es una buena ventana de uso general, con un rechazo del lóbulo lateral por arriba de 90 dB y un lóbulo principal moderadamente ancho. La función de ventana Blackman-Harris de 7 términos tiene todo el rango dinámico que debería necesitar, pero viene con un lóbulo principal amplio.

^{Figura 14: El Blackman-Harris da como resultado un pico ancho, pero una buena compresión del lóbulo lateral.} 

Una ventana de Kaiser-Bessel logra un equilibrio entre los diversos objetivos en conflicto de precisión de amplitud, distancia del lóbulo lateral y altura del lóbulo lateral. Se compara aproximadamente con las funciones de la ventana de BlackmanHarris, pero para el mismo ancho del lóbulo principal, los lóbulos laterales cercanos tienden a ser más altos, pero los lóbulos laterales más externos son más bajos. La elección de esta ventana a menudo revela señales cercanas al ruido de planta.

La ventana superior plana también es sinusoidal, pero en realidad cruza la línea cero. Esto provoca un pico mucho más amplio en el dominio de frecuencia, que está más cerca de la verdadera amplitud de la señal que con otras ventanas. 

^{Figura 15: La ventana superior plana da como resultado información de amplitud más precisa.} 

Estas son solo algunas de las posibles funciones de la ventana. No existe un enfoque universal para seleccionar una función de ventana. Sin embargo, la siguiente tabla puede ayudarlo en su elección inicial. Compare siempre el rendimiento de las diferentes funciones de la ventana para encontrar la mejor para la aplicación.

• Todas las señales en el dominio del tiempo se pueden representar con una serie de senos.
• Una transformación FFT deconstruye una representación en el dominio del tiempo de una señal en la representación en el dominio de frecuencia para analizar las diferentes frecuencias en una señal.
• El dominio de frecuencia es excelente para mostrarle si una señal limpia en el dominio del tiempo realmente contiene interferencia, ruido o fluctuación.
• La fuga espectral es causada por discontinuidades en el número original no entero de períodos en una señal y se puede mejorar usando ventanas.
• Las ventanas reducen la amplitud de las discontinuidades en los límites de cada secuencia finita adquirida por el digitalizador.
• A menudo, ninguna ventana se llama ventana uniforme o rectangular porque todavía hay un efecto de ventanas.
• En general, la ventana de Hanning es satisfactoria en el 95% de los casos. Tiene una buena resolución de frecuencia y una fuga espectral reducida.
• Debe comparar el rendimiento de diferentes funciones de ventana para encontrar la mejor para la aplicación.

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